Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran: Belajar Matematika dengan Asyik
Hai teman-teman, kali ini kita akan belajar tentang persamaan garis singgung lingkaran. Mungkin bagi sebagian dari kita, matematika adalah pelajaran yang cukup menantang dan membingungkan. Namun, jangan khawatir, dengan belajar dan berlatih, kita pasti bisa menguasai pelajaran ini dengan mudah.
Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang contoh soal persamaan garis singgung lingkaran. Sebelum itu, mari kita bahas terlebih dahulu apa itu lingkaran dan garis singgung.
Pengertian Lingkaran dan Garis Singgung
Lingkaran adalah bangun datar yang terdiri dari semua titik yang memiliki jarak yang sama dari titik pusat. Sedangkan garis singgung adalah garis yang hanya bersentuhan dengan lingkaran pada satu titik saja.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditemukan dengan menggunakan turunan atau diferensial. Namun, dalam artikel ini, kita akan membahas cara mudah untuk menemukan persamaan garis singgung lingkaran.
Langkah-langkah Menemukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran
- Tentukan titik yang menjadi titik singgung garis dengan lingkaran.
- Tentukan gradien garis singgung dengan menggunakan rumus gradien garis.
- Gunakan rumus persamaan garis untuk menemukan persamaan garis singgung.
Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Berikut adalah beberapa contoh soal persamaan garis singgung lingkaran beserta penyelesaiannya:
Contoh Soal 1
Diketahui lingkaran dengan persamaan x^2 + y^2 = 25 dan titik singgung garis pada titik (3, 4). Tentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik tersebut.
Penyelesaian
Langkah 1: Tentukan titik yang menjadi titik singgung garis dengan lingkaran.
Titik singgung garis dengan lingkaran adalah (3, 4).
Langkah 2: Tentukan gradien garis singgung dengan menggunakan rumus gradien garis.
Gradien garis singgung dapat ditemukan dengan menggunakan turunan atau diferensial. Namun, dalam artikel ini, kita akan menggunakan rumus gradien garis.
Gradien garis dapat ditemukan dengan rumus:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Dalam kasus ini, titik (3, 4) adalah titik singgung garis dengan lingkaran. Oleh karena itu, x1 = 3 dan y1 = 4.
Untuk menemukan x2 dan y2, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan antara persamaan lingkaran dan persamaan garis.
x^2 + y^2 = 25 y = mx - 5
Substitusikan y pada persamaan lingkaran:
x^2 + (mx - 5)^2 = 25
Simplifikasi persamaan:
x^2 + m^2x^2 - 10mx + 25 = 25
x^2(1 + m^2) - 10mx = 0
x(1 + m^2) - 10m = 0
x = 10m / (1 + m^2)
Substitusikan x pada persamaan garis:
y = mx - 5
y = m(10m / (1 + m^2)) - 5
y = (10m^2 - 5m^3) / (1 + m^2)
Dalam kasus ini, x2 = 10m / (1 + m^2) dan y2 = (10m^2 - 5m^3) / (1 + m^2).
Gradien garis singgung adalah:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) m = ((10m^2 - 5m^3) / (1 + m^2) - 4) / (10m / (1 + m^2) - 3)
Langkah 3: Gunakan rumus persamaan garis untuk menemukan persamaan garis singgung.
Persamaan garis dapat ditemukan dengan rumus:
y - y1 = m(x - x1)
Substitusikan nilai m, x1, dan y1:
y - 4 = m(x - 3)
Simplifikasi persamaan:
y = mx - 3m + 4
Oleh karena itu, persamaan garis singgung lingkaran pada titik (3, 4) adalah y = (24m - 15m^2) / (1 + m^2).
Contoh Soal 2
Diketahui lingkaran dengan persamaan x^2 + y^2 = 16 dan titik singgung garis pada titik (4, -2). Tentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik tersebut.
Penyelesaian
Langkah 1: Tentukan titik yang menjadi titik singgung garis dengan lingkaran.
Titik singgung garis dengan lingkaran adalah (4, -2).
Langkah 2: Tentukan gradien garis singgung dengan menggunakan rumus gradien garis.
Gradien garis singgung dapat ditemukan dengan menggunakan turunan atau diferensial. Namun, dalam artikel ini, kita akan menggunakan rumus gradien garis.
Gradien garis dapat ditemukan dengan rumus:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Dalam kasus ini, titik (4, -2) adalah titik singgung garis dengan lingkaran. Oleh karena itu, x1 = 4 dan y1 = -2.
Untuk menemukan x2 dan y2, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan antara persamaan lingkaran dan persamaan garis.
x^2 + y^2 = 16 y = mx + b
Substitusikan y pada persamaan lingkaran:
x^2 + (mx + b)^2 = 16
Simplifikasi persamaan:
x^2 + m^2x^2 + 2bmx + b^2 = 16
x^2(1 + m^2) + 2bmx + b^2 - 16 = 0
x(1 + m^2) + 2bm - 16 = 0
x = (16 - 2bm) / (1 + m^2)
Substitusikan x pada persamaan garis:
y = mx + b
y = m(16 - 2bm) / (1 + m^2) + b
y = (16m - 2bm^2 + b(1 + m^2)) / (1 + m^2)
Dalam kasus ini, x2 = (16 - 2bm) / (1 + m^2) dan y2 = (16m - 2bm^2 + b(1 + m^2)) / (1 + m^2).
Gradien garis singgung adalah:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) m = ((16m - 2bm^2 + b(1 + m^2)) / (1 + m^2) + 2) / ((16 - 2bm) / (1 + m^2) - 4)
Langkah 3: Gunakan rumus persamaan garis untuk menemukan persamaan garis singgung.
Persamaan garis dapat ditemukan dengan rumus:
y - y1 = m(x - x1)
Substitusikan nilai m, x1, dan y1:
y + 2 = m(x - 4)
Simplifikasi persamaan:
y = mx - 4m - 2
Oleh karena itu, persamaan garis singgung lingkaran pada titik (4, -2) adalah y = (-2m^2 + 16m + 1) / (1 + m^2).
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas tentang persamaan garis singgung lingkaran. Kita telah mempelajari pengertian lingkaran dan garis singgung, serta langkah-langkah untuk menemukan persamaan garis singgung lingkaran. Selain itu, kita juga telah melihat beberapa contoh soal persamaan garis singgung lingkaran beserta penyelesaiannya.
Dengan belajar dan berlatih, kita pasti bisa menguasai pelajaran matematika dengan mudah. Jangan lupa untuk selalu bersemangat dan terus belajar. Semoga artikel ini bermanfaat bagi teman-teman semua. Terima kasih telah membaca!
Comments