Artikel Pendidikan

Menentukan Letak Titik terhadap Lingkaran dengan Mudah Menggunakan Persamaan Lingkaran

Apakah kamu pernah bingung menentukan apakah sebuah titik berada di dalam, di luar, atau tepat di garis lengkung sebuah lingkaran? Nah, kali ini kita akan belajar cara mudah menentukan letak kedudukan sebuah titik terhadap lingkaran menggunakan persamaan lingkaran.

Dengan memanfaatkan persamaan lingkaran, kita bisa menghitung nilai K dari substitusi koordinat titik tersebut. Kemudian dari nilai K ini kita bisa menganalisis apakah titik itu berada di dalam, di luar, atau tepat di garis lengkung lingkaran.

Penasaran gimana caranya? Yuk kita pelajari bareng-bareng!

Pendahuluan

Sebelum masuk ke pembahasan utama, ada baiknya kita ingat kembali tentang lingkaran dan persamaan lingkaran.

Definisi Lingkaran

Lingkaran adalah bangun datar yang dibatasi oleh garis lengkung yang titik-titiknya berjarak sama terhadap suatu titik tertentu yang disebut titik pusat. Jarak antara titik pusat dan titik di garis lengkung disebut jari-jari lingkaran, dilambangkan dengan r.

Persamaan Lingkaran

Secara umum, persamaan lingkaran dapat dituliskan dalam bentuk:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Dimana:

  • (a,b) = koordinat titik pusat
  • r = jari-jari lingkaran

Nah, persamaan inilah yang akan kita manfaatkan untuk menentukan letak titik terhadap lingkaran.

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

Secara garis besar, kedudukan atau letak sebuah titik terhadap lingkaran dapat dibagi menjadi 3 kemungkinan, yaitu:

  • Titik berada di dalam lingkaran
  • Titik berada di luar lingkaran
  • Titik berada tepat di garis lengkung lingkaran

Nah, bagaimana cara menentukan kemungkinan-kemungkinan di atas? Yuk kita pelajari lebih lanjut!

Menentukan Nilai K

Kuncinya adalah dengan mensubstitusikan koordinat titik yang ditanyakan ke dalam persamaan lingkaran. Dengan begitu kita akan mendapatkan suatu nilai yang disebut nilai K.

Berikut rumus substitusinya:

K = (x - a)^2 + (y - b)^2

Dimana:

  • x,y = koordinat titik yang ditanyakan
  • a,b = koordinat titik pusat lingkaran
  • r = jari-jari lingkaran

Contoh Perhitungan Nilai K

Sebagai contoh, misalkan diketahui:

Titik P(2,3) Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 5

Maka nilai K dapat dihitung sebagai berikut:

K = (x - 0)^2 + (y - 0)^2
   = (2)^2 + (3)^2
   = 4 + 9
   = 13

Jadi nilai K untuk titik P(2,3) terhadap lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 5 adalah 13.

Menganalisis Nilai K

Setelah mendapatkan nilai K, kita bisa menganalisis letak titik tersebut terhadap lingkaran berdasarkan aturan berikut:

  • Jika K < r^2, maka titik berada di dalam lingkaran
  • Jika K = r^2, maka titik berada tepat di garis lengkung lingkaran
  • Jika K > r^2, maka titik berada di luar lingkaran

Pada contoh sebelumnya, kita dapatkan nilai K = 13. Karena r = 5, maka r^2 = 25.

Karena K < r^2, maka titik P(2,3) berada di dalam lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 5.

Begitulah analisis sederhananya. Yuk kita coba beberapa contoh soal lengkap beserta penyelesaiannya.

Studi Kasus

Berikut ini beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya dalam menentukan letak titik terhadap lingkaran:

Soal 1

Diketahui lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 10. Tentukan letak titik P(7,9) terhadap lingkaran tersebut!

Jawaban

Langkah-langkah penyelesaian:

  1. Tuliskan persamaan lingkaran:
    (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 10^2 x^2 + y^2 = 100

  2. Substitusikan koordinat P(7,9):
    K = (7 - 0)^2 + (9 - 0)^2
    = 7^2 + 9^2 = 49 + 81
    = 130

  3. Karena K = 130 dan r = 10, maka K > r^2.

  4. Jadi titik P(7,9) berada di luar lingkaran.

Soal 2

Diketahui lingkaran dengan pusat (-2,4) dan jari-jari 6. Tentukan letak titik Q(2,2) terhadap lingkaran tersebut!

Jawaban

Langkah-langkah penyelesaian:

  1. Tuliskan persamaan lingkaran:
    (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 6^2 (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 36

  2. Substitusikan koordinat Q(2,2): K = (2 + 2)^2 + (2 - 4)^2 = 4^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20

  3. Karena K = 20 dan r = 6, maka K < r^2.

  4. Jadi titik Q(2,2) berada di dalam lingkaran.

Soal 3

Diketahui lingkaran dengan pusat (6,1) dan jari-jari 8. Tentukan letak titik R(6,-3) terhadap lingkaran tersebut!

Jawaban

Langkah-langkah penyelesaian:

  1. Tuliskan persamaan lingkaran: (x - 6)^2 + (y - 1)^2 = 8^2 (x - 6)^2 + (y - 1)^2 = 64

  2. Substitusikan koordinat R(6,-3): K = (6 - 6)^2 + (-3 - 1)^2 = 0 + (-4)^2 = 16

  3. Karena K = 16 dan r = 8, maka K = r^2.

  4. Jadi titik R(6,-3) berada tepat di garis lingkaran.

Begitulah cara menyelesaikan soal-soal menentukan letak titik terhadap lingkaran. Semakin banyak berlatih, kamu pasti akan semakin mahir.

Kesimpulan

Itulah cara mudah menentukan letak kedudukan sebuah titik terhadap lingkaran menggunakan persamaan lingkaran.

Dengan mensubstitusikan koordinat titik ke persamaan lingkaran, kita bisa mendapatkan nilai K. Kemudian dari nilai K ini kita bisa menganalisis apakah titik tersebut berada di dalam, di luar, atau tepat di garis lengkung lingkaran.

Mempelajari materi ini akan sangat berguna dalam menyelesaikan soal-soal geometri lingkaran. Semangat belajarnya!

Comments

Artikel Terbaru